Giai phuong trinh bac 3

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Giai phuong trinh bac 3

Bài gửi by Admin on 22/4/2010, 22:25

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

http://serge.mehl.free.fr/anx/equ_deg3.html


Cette méthode permet de mettre en place des formules appelées formules de Cardan donnant en fonction de p et q les solutions de l'équation :

z^3+pz + q= 0 ~

Principe de la méthode [modifier]

Considérons l'équation générale du troisième degré suivante : a x^3 + b x^2 + c x + d = 0\,.

En posant \textstyle{x = z - \frac{b}{3a}}, on se ramène à une équation de la forme : z^3 + p z + q = 0\,
où p = - \frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a} et q = \frac{b}{27a}\left(\frac{2b^2}{a^2}-\frac{9c}{a}\right)+\frac{d}{a}.

On va maintenant poser z = u + v\, avec u et v complexes, de façon à avoir deux inconnues au lieu d'une et se donner ainsi la possibilité de poser ultérieurement une condition sur u et v permettant de simplifier le problème. L'équation z^3 + p z + q = 0\, devient ainsi

(u+v)^3 + p (u+v) + q = 0\,.

Cette équation se transforme aisément sous la forme suivante :

u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0\,

La condition de simplification annoncée sera alors 3uv+p=0\,. Ce qui nous donne d'une part u^3+v^3+q=0\, et d'autre part uv=-\frac{p}{3}\,, qui, en élevant les deux membres à la puissance 3 donne u^3v^3=-\frac{p^3}{27}\,.

Nous obtenons finalement le système somme-produit des deux inconnues u3 et v3 suivant :

\begin{cases}u^3+v^3&=-q\\ u^3v^3&=-\frac{p^3}{27}\end{cases}

Les inconnues u3 et v3 étant deux complexes dont on connaît la somme et le produit, ils sont donc les solutions de l'équation du second degré :

X^2+qX-\frac{p^3}{27}=0

Le discriminant de cette équation est \Delta = q^2 - 4 \times 1 \times \frac{-p^3}{27} = q^2 + \frac{4}{27}p^3\, et les racines sont

\begin{cases} u^3 = \frac{-q + \sqrt{\Delta}}{2} \quad\!\mbox{ et } v^3 = \frac{-q - \sqrt{\Delta}}{2}, & \mbox{si }\Delta\mbox{ est positif} \\ u^3 = \frac{-q + i\sqrt{|\Delta|}}{2} \mbox{ et } v^3 = \frac{-q - i\sqrt{|\Delta|}}{2}, & \mbox{si}\ \Delta\ \mathrm{est\ n\acute{e}gatif} \\ u^3 = v^3 =\frac{-q}{2}, & \mbox{si }\Delta\mbox{ est nul} \end{cases}

Il suffit alors d'associer les trois racines cubiques de u3 et v3 deux par deux de façon à obtenir trois couples (u,v) tel que uv=-\frac{p}{3}, puis reporter les trois couples de valeurs trouvés pour u et v dans l'expression z = u + v\,.

Enfin, on revient au premier changement de variable x = z - \frac{b}{3a} pour avoir les trois racines de l'équation du troisième degré posée au départ.
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